17.2 用數學性質優化：一步到位的公式

最徹底的優化，是根本不跑迴圈。開場高斯的配對法，寫成一般式就是等差級數公式：

拿「輸入 n，輸出 1 加到 n 的總和（n \le 10^9）」來對照：

// 做法一：迴圈累加——O(n)，n = 10^9 就是十億次，約一秒起跳
long long sum = 0;
for (long long i = 1; i <= n; i++) {
    sum += i;
}

// 做法二：公式——O(1)，一步
long long sum = n * (n + 1) / 2;

用公式時型態要跟上：n = 10^9 時 n(n+1) 約 10^{18}，已經逼近 long long 的極限、更是 int 的一萬倍——先確定 n 是 long long 再相乘（上冊 2.9 的溢位，這裡最容易回鍋）。

再一個生活例：n 瓶飲料、每 d 瓶裝一箱，最後不足一箱的有幾瓶？模擬「一箱一箱扣」是 O(n / d)，但數學課早就給過答案——餘數：

cout << n % d << '\n';    // 一步