16.2 二進制與十六進制

二進制對電腦友善，對人類就辛苦了： $3072$ 十進制只要 $4$ 位，二進制卻是 $(110000000000)_2$ ——一長串 $0$ 與 $1$ ，讀寫都容易眼花。工程師的解法是找一個「跟二進制無縫換算」的縮寫進制：十六進制（hexadecimal）。

十六進制滿 $16$ 進位，每格放 $0 \sim 15$ 。 $10 \sim 15$ 就用上一節說的字母慣例：

字元	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`
數值	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$

¶4 個二進制位＝1 個十六進制位

十六進制被選中的原因藏在 $2^4 = 16$ 這條等式裡： $4$ 個二進制位總共有 $16$ 種組合，恰好一一對應十六進制的 $16$ 種數字。所以二進制從右往左每 $4$ 位分一組，每組直接查表換成 $1$ 個十六進制位，反方向也一樣逐位展開——完全不用經過十進制：

十六進制	二進制	十六進制	二進制
`0`	`0000`	`8`	`1000`
`1`	`0001`	`9`	`1001`
`2`	`0010`	`A`	`1010`
`3`	`0011`	`B`	`1011`
`4`	`0100`	`C`	`1100`
`5`	`0101`	`D`	`1101`
`6`	`0110`	`E`	`1110`
`7`	`0111`	`F`	`1111`

實際換一個： $(11010111)_2$ 從右往左每 $4$ 位分組是 1101 和 0111，查表分別是 D 和 7，所以

(11010111)_2 = (\mathrm{D7})_{16}

不放心可以驗算：兩邊各自展開位值，都是 $215$ 。

這就是工程上愛用十六進制的原因：長度縮成四分之一，卻還能逐位對回二進制。十進制沒有這種好事—— $10$ 不是 $2$ 的次方，換算得整個數重算。順帶把上冊 2.2 的知識接上： $1$ 位元組＝ $8$ 個位元＝恰好 $2$ 個十六進制位，所以一個位元組的內容總能寫成兩個十六進制字元。你在生活中其實看過它——網頁的顏色碼 #00A896，就是紅、綠、藍三個位元組各用兩個十六進制位寫出來的。

補充知識：程式碼裡直接寫二進制與十六進制

上冊 2.8 的字面常數其實不只十進制一種寫法：開頭寫 0b 是二進制、寫 0x 是十六進制，讓你「照著位的樣子」把數字寫進程式：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a = 0b110000000000;   // 二進制字面常數（0b 開頭）
    int b = 0xC00;            // 十六進制字面常數（0x 開頭）
    cout << a << '\n';        // cout 一律印十進制
    cout << b << '\n';
    return 0;
}

執行結果：

3072
3072

兩種寫法都只是「換個方式寫同一個數」——存進變數後就是普通的整數，cout 印出來一律是十進制。

動手試試看：把 $(10111100)_2$ 分組換成十六進制（每 $4$ 位一組查表），再用 0b10111100 和 0x 你的答案各寫一個字面常數印出來，確認兩個都是 188。

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