9.7 絕對誤差與相對誤差

浮點數天生帶誤差，上一節已經看得清清楚楚——出題者當然也知道，所以浮點數題目的判定通常長這樣：

「與標準答案的絕對誤差或相對誤差不超過 10^{-6} 即視為正確。」

兩個名詞拆開看（設你的輸出是 v、標準答案是 ans）：

• 絕對誤差：兩數相差多少——|v - ans|。例如輸出 1.013、答案 1.02，絕對誤差是 |1.013 - 1.02| = 0.007。
• 相對誤差：差距佔答案本身的比例——\dfrac{|v - ans|}{|ans|}。上例的相對誤差是 0.007 / 1.02 \approx 0.00686。

為什麼要有相對誤差？想像答案是 10^{15} 這麼大——double 總共就 15 \sim 16 位有效數字，「絕對誤差 \le 10^{-6}」根本印不出來；但「相對誤差 \le 10^{-6}」只要求前 6 位有效數字附近是對的，公平多了。題目寫「或」就是兩個條件過一個就算對——大數看相對、小數看絕對，各取所長。

¶你該做的事：把位數印好印滿

看懂要求後，應對方式其實就一句話：用 fixed + setprecision 輸出比要求更多的位數。

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main() {
    double d;
    cin >> d;
    cout << fixed << setprecision(12);   // 要求 10^-6，就印到 10^-12：綽綽有餘
    cout << d * d << '\n';
    return 0;
}

執行結果（輸入 1.5）：

2.250000000000

反面教材：這題如果用預設輸出，6 位有效數字的四捨五入可能讓誤差達到 10^{-1} 等級（例如答案 123456.7 被印成 123457），誤差要求直接爆掉。凡是誤差判定的題目，第一行先寫 fixed << setprecision(12)，再開始想演算法。

動手試試看：題目要求相對誤差 \le 10^{-9}，答案的數量級大約是 10^{3}。用 setprecision 印小數點後 12 位夠不夠？印 6 位呢？（動筆算：小數點後 k 位的絕對誤差最多 0.5 \times 10^{-k}，除以答案 10^3 就是相對誤差。）