13.9 旋轉與翻轉

圖 13-4：順時針轉 90 度——舊圖 (i, j) 跑到新圖 (j, R-1-i)

旋轉和翻轉都是「每一格搬到新位置」，關鍵只有一條座標公式。拿 $R \times C$ 的矩陣 $A$ 來說：

操作	舊圖 $(i, j)$ 搬到	新圖大小	程式
上下翻轉	$(R - 1 - i,\ j)$	$R \times C$	`reverse(A.begin(), A.end());`（整列對調）
順時針轉 $90^\circ$	$(j,\ R - 1 - i)$	$C \times R$	新開一張 `B(C, vector<int>(R))`，`B[j][R-1-i] = A[i][j]`
逆時針轉 $90^\circ$	$(C - 1 - j,\ i)$	$C \times R$	把上一條反過來讀：`B[i][j] = A[j][C-1-i]`

公式怎麼來的？拿 $2 \times 3$ 的小矩陣手畫一次：順時針轉 $90^\circ$ 後，舊的第 $0$ 列（最上面一排）變成新的最右邊一直排、舊的最後一列變成新的最左邊一直排——所以舊的第 $i$ 列跑去新的第 $R - 1 - i$ 行；而舊的第 $j$ 行（由左往右）變成新的第 $j$ 列（由上往下）。不確定就畫，公式馬上對得出來。

¶例題：矩陣轉換（APCS 2016 年 3 月中級）

題目：矩陣有兩種操作——翻轉（第一列與最後一列交換、第二列與倒數第二列交換……）與旋轉（順時針轉 $90^\circ$ ）。矩陣 $A$ 經過一連串操作變成 $B$ 。給定 $B$ （ $R \times C$ ， $1 \le R, C, M \le 10$ ）和 $M$ 個操作（ $0$ 旋轉、 $1$ 翻轉，依施作順序），請算出原始的矩陣 $A$ ：先輸出 $A$ 的列數行數，再輸出內容。

題目給的是做完之後的樣子，要還原就得從最後一個操作倒著做「反操作」：翻轉的反操作還是翻轉；順時針旋轉的反操作是逆時針旋轉。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using Matrix = vector<vector<int>>;

int main() {
    int rows, cols, operationCount;
    cin >> rows >> cols >> operationCount;

    Matrix matrix(rows, vector<int>(cols));
    for (int i = 0; i < rows; i++)
        for (int j = 0; j < cols; j++) cin >> matrix[i][j];

    vector<int> operations(operationCount);
    for (int k = 0; k < operationCount; k++) cin >> operations[k];

    for (int k = operationCount - 1; k >= 0; k--) {          // 從最後一個操作倒著還原
        if (operations[k] == 1) {
            reverse(matrix.begin(), matrix.end());           // 翻轉：整排上下對調
        } else {
            rows = (int)matrix.size();
            cols = (int)matrix[0].size();
            Matrix restored(cols, vector<int>(rows));        // 逆時針旋轉 90 度：大小變成 cols x rows
            for (int i = 0; i < cols; i++)
                for (int j = 0; j < rows; j++)
                    restored[i][j] = matrix[j][cols - 1 - i];
            matrix.swap(restored);
        }
    }

    rows = (int)matrix.size();
    cols = (int)matrix[0].size();
    cout << rows << ' ' << cols << '\n';
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            if (j) cout << ' ';
            cout << matrix[i][j];
        }
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}

using Matrix = vector<vector<int>>; 是 12.7 的型態別名。旋轉會讓長寬對調，所以每次都要重新開一張新表再搬過去（不能在原地轉）；輸出時的列數行數也要用還原後的大小。

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¶例題：矩陣轉換（APCS 2016 年 3 月中級）

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