9.8 內建數學函式

處理浮點數的常用數學函式都住在 <cmath> 函式庫。先列總表：

數學符號小抄：向下取整寫作 \lfloor x \rfloor（例如 \lfloor 3.8 \rfloor = 3、\lfloor -1.2 \rfloor = -2），向上取整寫作 \lceil x \rceil——題目敘述常直接用這兩個符號，看到就想到 floor 和 ceil。

¶參數和回傳都是浮點數

這些函式吃的是浮點數、吐出來的也是浮點數（總表最後一欄以外的名字，都是 double 版）。這件事有兩個實務後果，都要放在心上：

後果一：丟整數進去，會被悄悄轉成 double。 例如寫 sqrt(2)，那個整數 2 會先隱性轉型成 double 的 2.0 再開根號。小整數這樣沒問題；但大整數在「轉成 double」這一步就會失真——double 只有約 15 \sim 16 位有效數字，塞不下十幾位的大整數（原理見 9.5）。本節後面 sqrt 的陷阱就是栽在這裡。

後果二：回傳值是 double，不是 int。 floor(3.8)、round(2.5) 算出來的是 double（3.0），不是整數。如果你寫 int k = floor(3.8);，那個 double 還會被截斷一次才存進 int——多數時候剛好對，但心裡要清楚「進去、出來都是浮點數」這回事。

¶範例程式碼

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    // 這些函式吃浮點數、回傳的也是浮點數
    cout << sqrt(8.0) << '\n';        // 2.82843（預設 6 位有效數字）
    cout << floor(3.8) << '\n';       // 3
    cout << floor(-1.2) << '\n';      // -2：向下是「往負的方向」！
    cout << ceil(-1.2) << '\n';       // -1
    cout << round(2.5) << '\n';       // 3
    cout << round(2.49999) << '\n';   // 2
    cout << round(-2.5) << '\n';      // -3：四捨五入是「往遠離 0 的方向進位」
    cout << abs(-1.2) << '\n';        // 1.2
    return 0;
}

執行結果：

2.82843
3
-2
-1
3
2
-3
1.2

注意負數的行為：floor(-1.2) 是 -2（不是 -1！），round(-2.5) 是 -3。「向下」永遠指數線上往左，跟直覺的「去掉小數」不同——去掉小數的那個操作是 9.9 的轉型。

¶pow 的兩宗罪：慢，而且不準

同樣是「大整數丟進浮點函式」的坑，pow 還要再加一條罪。pow(a, b) 是用對數指數硬算出來的——就算 a、b 都是整數，它也走浮點數路線。代價有二：速度慢（實測比一次乘法慢了將近十倍），結果帶誤差（大數字時捨入後直接錯給你看）。

實驗：把 1^2, 2^2, 3^2, \ldots 一路算到 (10^8)^2，奇數項用減的、偶數項用加的，全部加總起來。用 pow(i, 2) 的版本：

long long an = 0;
for (long long i = 1; i <= 100000000; i++) {   // i*i 會到 10^16：i 用 long long（上冊 2.9）
    if (i % 2 != 0) an -= pow(i, 2);
    else            an += pow(i, 2);
}

在本站評測環境實測：跑了約 0.5 秒，而且答案是錯的——印出 5000000052546867（i^2 接近 10^{16} 時已超過 2^{53}，pow 回傳的浮點數存不精確，加總後整個走樣）。改用一次乘法 i * i：

long long an = 0;
for (long long i = 1; i <= 100000000; i++) {
    if (i % 2 != 0) an -= i * i;
    else            an += i * i;
}

跑約 0.06 秒，答案正確（5000000050000000）。

動手試試看：解掉地平線（練 sqrt）。記得先把 9.3 的輸出開場白寫好。