本單元重點回顧

優化＝換形狀，不是修零頭： $O(n^2)$ 砍半還是 $O(n^2)$ ；出路是把成長形狀往下換一階（ $O(n^2) \to O(n \log n) \to O(n) \to O(\sqrt{n}) \to O(\log n) \to O(1)$ ）。
先問數學：規律的總和、配對、餘數，公式能把整段迴圈變 $O(1)$ ——但套公式前先確認型態裝得下（ $n(n+1)$ 很容易爆 int）。
用陣列儲存資訊：「索引當數字」的標記陣列把「 $x$ 出現過沒」變一步；陣列開多大看答案的範圍，不是盲目跟著值域開。這個思想的完整家族叫預處理，課程裡會深入。
因數成對，試到 $\sqrt{n}$ ：質數判斷從 $O(n)$ 變 $O(\sqrt{n})$ ；邊界用 d * d <= n 純整數判斷（d 記得 long long），別碰浮點 sqrt。
每輪減半，總量撐死兩倍： $n + n/2 + n/4 + \cdots < 2n$ 。模擬題大量刪除時，逐一 erase 是 $O(n^2)$ 、整輪重建是 $O(n)$ ——操作成本選對，形狀就換掉。
$\log_2 n$ ＝一直除以 $2$ 除幾次到 $1$ ：連 $10^{18}$ 都只要 $60$ 次； $O(n \log n)$ 就是「掃一遍做 $\log n$ 層」——sort 快的原因。 $\log$ 常出現在除法、砍半、切塊的場景。
改變枚舉順序：最後一層迴圈若能「用算的」，整層消失；動手前先用 10.1 三步驟估總次數， $K^3$ 這種數字一出現就該回頭想。