簡潔題意

有 \(n\) 個員工要分給兩個工廠，工廠一分到 \(X_1\) 人、工廠二分到 \(X_2\) 人，每個員工都得分到其中一個工廠（\(X_1 + X_2 = n\)、\(X_1, X_2 \ge 0\)，其中一邊分到 \(0\) 人也可以）。兩個工廠的收益分別是 \(Y_1 = A_1 X_1^2 + B_1 X_1 + C_1\) 與 \(Y_2 = A_2 X_2^2 + B_2 X_2 + C_2\)，請求出 \(Y_1 + Y_2\) 的最大值（可能是負數）（\(1 \le n \le 100\)，六個係數都介於 \(-1000\) 與 \(1000\) 之間）

依正確通過的測試資料筆數給分，其中：

• 子題組 1（\(50\) 分）：\(n = 2\)。
• 子題組 2（\(50\) 分）：無額外限制。

兩個工廠，其實只有一個選擇

題目有 \(X_1\) 和 \(X_2\) 兩個未知數，看起來要兩邊都試。但它們被一句話綁死了：\(X_1 + X_2 = n\)。只要決定了 \(X_1\)，\(X_2\) 就只能是 \(n - X_1\)，沒有第二種可能。所以真正要做的選擇只有一個——工廠一要分到幾個人。

\(X_1\) 能是 \(0, 1, 2, \ldots, n\)，總共 \(n + 1\) 種。題目說 \(n \le 100\)，也就是最多 \(101\) 種分法，全部算一遍再挑最大的就好，一個迴圈就夠了。\(101\) 次計算對電腦來說是一瞬間的事（估算方法見 4.9）。

再來是「挑最大的」。這就是 3.9 的打擂台：先讓一個變數 ans 當擂主，每算出一種分法的收益就跟它比一次，比較大就換人當擂主。

擂主的初值要小心：收益可以是負數，所以不能設成 \(0\)。最保險的是直接用 int 的最小值 INT_MIN（2.3，開頭要 #include <climits>），任何收益都一定比它大。

寫法一：只用到第四單元為止的語法

如果你語法書才讀到第四單元——變數、if、迴圈都會了，陣列和函式還沒學——這題已經寫得出來了。六個係數就老老實實開六個變數：

#include <climits>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int A1, B1, C1;
    int A2, B2, C2;
    cin >> A1 >> B1 >> C1;
    cin >> A2 >> B2 >> C2;

    int n;
    cin >> n;

    int ans = INT_MIN;                  // 擂台上還沒有人
    for (int x1 = 0; x1 <= n; x1++) {
        int x2 = n - x1;                // 剩下的人全去工廠二
        int sum = (A1 * x1 * x1 + B1 * x1 + C1) + (A2 * x2 * x2 + B2 * x2 + C2);
        if (sum > ans) ans = sum;       // 比擂主大就換人
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

三個地方值得停下來看一眼：

• x1 要從 \(0\) 開始，x1 <= n 的等號也不能少。 「其中一個工廠可以分配到 \(0\) 個員工」是題目明講的，\(X_1 = 0\) 和 \(X_1 = n\) 這兩個端點都是合法分法，而且很常就是答案。
• x2 不用另外讀、也不用另外試，寫成 n - x1 就好——這就是前面說的「只有一個選擇」。
• if (sum > ans) ans = sum; 就是擂台換人。 這種「條件和一個短語句寫在同一行、又沒有 else」的情況，3.5 說可以不加大括號。

用 int 夠嗎？這題的收益可以是負的，所以上界和下界都要估一次。 \(X\) 最多 \(100\)、係數的絕對值最多 \(1000\)，所以一個工廠的收益頂多是

係數全取 \(-1000\) 時就是同一個數字的負版 \(-10101000\)。兩個工廠加起來，答案落在 \(-20202000\) 到 \(20202000\) 之間。int 裝得下 \(-2147483648\) 到 \(2147483647\)（估算方法見 2.9），兩邊都離二十一億還很遠——用 int 很安全。這順便也證明了前面把擂主初值設成 INT_MIN 沒問題：任何一種分法的收益都遠大於它。不放心的話全部改成 long long 也對，答案不會有任何差別。

寫法二：讀完上冊之後

寫法一有兩件事在重複：六個係數的變數名字只差一個數字，兩個工廠的收益公式長得一模一樣。上冊後半的陣列和函式，處理的正是這種重複。

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <iostream>
using namespace std;

int A[3], B[3], C[3];                   // 一號、二號工廠的三個係數

int f(int x, int idx) { return x * x * A[idx] + x * B[idx] + C[idx]; }

int main() {
    for (int i = 1; i <= 2; i++) cin >> A[i] >> B[i] >> C[i];

    int n;
    cin >> n;

    int ans = INT_MIN;
    for (int x1 = 0; x1 <= n; x1++) {
        int x2 = n - x1;
        ans = max(ans, f(x1, 1) + f(x2, 2));
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

跟寫法一比，換掉的是這四個地方：

• A1、A2 收成一個陣列 A（6.1），工廠編號直接拿來當索引，讀入也就縮成一個迴圈。題目講的是「工廠一、工廠二」，讓 A[1]、A[2] 對應一號、二號工廠最好讀，這就是 6.3 的 1-base。要注意陣列得開 \(3\) 格（A[3] 的合法索引是 \(0\)、\(1\)、\(2\)），只開 \(2\) 格卻去用 A[2] 會踩到 6.8 的未定義行為。
• 收益公式收成一個函式 f（7.1）：傳進人數 x 和工廠編號 idx，回傳那個工廠的收益。本來要寫兩次的式子現在只寫一次，而且 f(x1, 1) + f(x2, 2) 一眼就看得出在算什麼。
• A、B、C 宣告在 main 外面，這樣 f 才看得到它們（3.8 的全域變數）。
• 兩行 if 換成 max（7.6，住在 <algorithm>），做的是同一件事。

兩種寫法算出來的答案完全一樣，也都是滿分，不必急著換成寫法二。真正的差別要等題目變了才看得出來：如果哪天工廠變成三間、五間，寫法二只要把讀入的迴圈跑到 \(3\)、\(5\)，寫法一就得再多開一組變數、再多抄一次公式。

測過再交：範例只有一個，而且太好過了

這題只給一個範例，\(n = 2\)、答案是正的 \(11\)、最好的分法還剛好在兩個端點上。下面這幾種情況範例完全沒測到，交出去之前自己跑一次：

（每一列的三行分別是 \(A_1\ B_1\ C_1\)、\(A_2\ B_2\ C_2\)、\(n\)。）

構造的思路很單純：想讓某一個端點單獨勝出，就讓一邊的收益隨人數一直長（1 0 0）、另一邊固定不動（0 0 0）；想同時逼出負數答案和中間解，就讓兩邊都開口向下（-1 0 0）。最後兩列則是把六個係數同時頂到 \(1000\) 與 \(-1000\)，剛好各驗 int 的一邊——上界那一列估算時算過，下界這一列的答案 \(-5102000\) 離 \(-2147483648\) 也還很遠。

這五種都親眼看過正確，這題就穩了。