無理數的快速冪 (AP325 Q-2-13)

1.0s 256M

若 \(s + t\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^n\)，其中 \(x, y, s, t\) 均為正整數，輸入 \(x, y\) 與 \(n\)，請計算並輸出 \(s\) 與 \(t\) 除以 \(p\) 的餘數。\(p = 10^9 + 9\) 且 \(x, y, n < p\)。

輸入格式

一行含三個正整數，依序為 \(x, y\) 與 \(n\)，以空格隔開。

限制

  • \(p = 10^9 + 9\)（固定）。
  • \(1 \le x, y, n \le 10^9 + 8\)（即 \(x, y, n < p\)）。

輸出格式

輸出 \(s\) 與 \(t\) 除以 \(p\) 的餘數，中間空一格。

評分說明

每筆計分測資獨立計分，每筆 5 分，共 100 分；範例不計分。

範例輸入

2 3 2

範例輸出

22 12

範例說明

\((2 + 3\sqrt{2})^2 = 4 + 12\sqrt{2} + 18 = 22 + 12\sqrt{2}\)。

題目來源

本題出自中正大學吳邦一教授所著《AP325－從 APCS 實作題檢測三級到五級》（v1.5）第 2 章 Q-2-13，第 65 頁；經作者同意於 AACPOJ 免費公開。教材下載：AP325 講義（Google Drive）；Python 版：AP325-Python（HackMD）。原題出自 108 學年度全國高級中等學校資訊學科能力競賽（本題是其核心計算的簡化版）。

題目頁說明

快速鍵

主要功能

  • 範例測試 — 執行題目附帶的範例測資並自動比對預期輸出。
  • 自訂測試 — 自己貼 stdin 執行程式。可勾選「與預期輸出比對 (diff)」做行對行比對。
  • 模板 — 貼上你在個人資料設定的預設程式碼模板。
  • 協作 — 與其他同學共筆編輯這題的程式碼。
  • 自動草稿 — 編輯器內容每 1.5 秒自動存到瀏覽器（per 帳號 / 題目 / 語言）。
  • 提交 — 把程式碼交給 judge 評測，回傳 AC / WA / TLE 等結果。

限制

  • 程式碼最多 65,536 字元
  • 自訂測試 stdin 與預期輸出各最多 1 MB （約 100 萬字元）
  • 自訂測試與範例測試共用一個沙箱，每人約 3 秒 1 次 （範例測試 1 秒 1 次）
  • 自訂測試與範例測試都有 15 秒 牆鐘上限（正式評測仍依題目原本時限）
  • 互動題不提供自訂測試（無法模擬與 judge 互動）。
  • 提交評測本身沒有 rate limit，但同題短時間內多次提交會被視為刷分。